[Иванфилософ]

Математика зарождается как алгоритмы вычисления площадей земельных участков, астрономических расчетов. Понятие бесконечного не было, т.к. оно требует философского осмысления, выходящего за пределы эмпирического математического опыта. Оно, на наш взгляд, если и может возникнуть, то только как понятие потенциальной бесконечности (потенциальной бесконечной возможности продолжения счёта). Уже в то время были введены три понятия идеальных абстрактных объектов: число, величина, геометрическая фигура.
Но, математические знания древних культур были ориентированы для решения практических задач земледелия, орошения, строительства, измерения времени и т.д. Это рецептурная, практическая математика была инструментом для решения практических (по современному, технических) задач. Отсутствовало какое-либо теоретическое объяснение, доказательство, - данные математические знания нельзя назвать научно рациональными. Очевидно, они объяснялись как данные свыше, от божественных сил, поэтому и владели ими, транслировали эти знания касты жрецов (по крайней мере, в Египте). В таком случае можно говорить о мифологической рациональности математических знаний. Их можно было воспринимать, принимать, передавать, но не изменять, не критиковать. А любое доказательство подразумевает элемент критики.
Теория в математике оперирует идеальными математическими абстракциями (сущностями), что сближает её с философией, которая также немыслима без критической рефлексии. Можно сделать вывод, что развитие математики как науки стало возможно, только с генезисом философии, одновременно или следом за философией. На наш взгляд, философия и математике на начальном рефлексивном уровне развивались неотрывно друг от друга, как одна область высшего рационального знания, и только с усилением инструментализма в новой эллинской математике, математика выделяется как отдельная наука.
Но с 6 века до н.э. в математику входит теория. Это уже математика постоянных величин. Период этой математики с 6 в. до н.э. до 17 в. н.э. Основная его характеристика – это оперирование только постоянными величинами. В начале этого периода уже развивается понятия доказательства, т.е. критериями рефлексии, а, значит, становится наукой.
Важно, что математика, благодаря её связи с философией становится наукой об идеальных объектах: идеальных сущностях по Платону, или идеальных структурах форм бытия, - по Аристотелю.
Платоновский Бог-демиург строит мир, опираясь на идею пропорционального соотношения всех его частей. Он – великий геометр. Аристотель не согласен с пониманием математических объектов как отдельных сущностей. По Аристотелю, человек в своём мышлении, абстрагируясь от конкретного, строит идеальный мир отвлечений.
Главное, что математика перестала быть практическим знанием. Она была математикой постоянных величин, т.к. философия античности не мыслила актуальной бесконечности. Форма Аристотеля измерима и конечна (дискретна). То же самое можно сказать и о мире математических сущностей Платона. А, вот мир «косной» материи обладает свойством неизмеримости, в нём искажаются соизмеримые пропорции форм или математических сущностей. Математики-философы того времени рассматривали истинный мир, как конечный, а вот мир «фюзиса», - изменчив. Но его изучение невозможно в рамках математики, - строгой науки. Его может изучать только физика на качественном уровне познания, да и то, - ограниченным недостоверностью чувственного знания.
Итак, объект математики того времени – идеальные ограниченные миры, их структуры. В них нет «флюксий», а поэтому не может быть математики, занимающейся переменными величинами.
Интересно, поняли бы математики античности, неевклидовы геометрии. На наш взгляд – да! Но эти геометрии – искажение косной несоизмеримой материей форм или вечных математических сущностей.
Отказ от исследования переменных величин сделал эту математику – математикой пропорциональных соотношений между величинами.

[Иванфилософ]

Важной характеристикой математики этого этапа является преобладание «понятийности» над алгоритмами. Конечно, алгоритмы развивались, решались задачи, но, прежде всего, - это система понятий и высказываний. Как уже отмечалось, бесконечность изгонялась из работ математиков того времени. Поэтому многие формулы объёмов фигур, излагались без применения предельного перехода, без разложения на бесконечно малые части. На наш, взгляд, развитие логики шло также на исключении понятии актуальной бесконечности. Формы мышления рассматривались как дискретные, с креативными переходами (закон исключение третьего или контрадикция в соотношениях между понятиями).
Всё вышеотмеченное, привело к доминированию геометрического метода в математике, а он препятствовал развитию алгебры. Как можно представить геометрически четвёртую и высшие степени длины? Нельзя складывать выражения разных степеней, - такая сумма не имеет геометрического смысла. По этим же причинам в греческой математике не было отрицательных чисел, нуля, отрицательных чисел.
Зачатки алгебры появляются у арабов, но не как учение о формальных действиях, а как «наука» о решении уравнений. По сути, это алгебра алгоритмов, а не понятий. В математике же, система алгоритмизации и система понятий, дополняющие друг друга являются основой математической или логико-математической рациональности.
Период позднего средневековья характеризовался развитием религиозной философии с доминированием критической рефлексии в ней(номинализм, Н. Кузанский). Всё это дало философские основания для развития новой математики, математики переменных величин.
В XVII веке начинается период математики переменных величин. Общую идею переменной величины заложил Р. Декарт, который «алгебраизировал» геометрию. К 60-м годам XVII века были разработаны многочисленные методы для вычисления площадей, ограниченных различными кривыми линиями. Были созданы дифференциальные методы исчисления, которые решали основную задачу: зная кривую линию, найти её касательную. Многие задачи практики приводили к постановке обратной задачи: зная касательные к кривой, найти соответствующую кривую. Наиболее ранней формой дифференциального и интегрального исчисления стала теория флюксий (Ньютон). Символика и оперативная простота дифференциального и интегрального исчисления Лейбница оказалась более привлекательной, благодаря умению Лейбница находить алгоритмы.
Часто аргументируют к мнению, что развитие математики переменных величин было связано с программой математического естествознания и потребностями механики. Но сама программа математического естествознания представляла собой проект (теологический) познания мира, как божественного творения, а, значит «мыслетворения» Бога. От поиска «математического плана» мира, в разуме, математика начинает открывать его в явлениях природы. Это коренной поворот в научном познании, соединил математику с физикой (механикой), и сделал математику «служанкой» физики, так как физика познаёт природу.
Надо отметить, что переход к математике переменных величин, требовал философского осознания континуума, актуальной бесконечности, мира как актуальной бесконечности. И, на наш взгляд, идеи Н.Кузанского, Дж. Бруно не могли не повлиять на математику, как онтологические основания. Если раньше совершенное рассматривалось как ограниченное, неизменное, соизмеримое; то на данном этапе мир рассматривается как безграничный и непрерывный и совершенный. Несоизмеримость величин рассматривается через бесконечно малые величины. Бесконечно малая величина есть результат переменной величины, - «флюенты».
Лейбниц вводит общее понятие функции, а это идея об общей взаимосвязи всех явлений мира, «предустановленной гармонии».
В периоды развития математики, рассмотренные выше, считали, что математика отображает свойства, структуры реального мира. В платонизме рассматривались два мира, и, математика была наукой о свойствах, соотношениях мира идей, который, хотя и в искаженной форме, но отражается в мире материи.

[Иванфилософ]

Но ещё в XVII веке Лейбниц считал, что математика должна изучать все, что в области воображения поддаётся точному определению. Переворот в философских основаниях математики произвёл И. Кант. Мир ноуменов нам дан, но не может быть познанным, а мир феноменов, доступный нам, - обуславливается априорными свойствами нашего разума. Поэтому, математика – наука, которая, по сути, изучает свойства чистого разума. Свои синтетические высказывания математика строит из аналитических высказываний, которые есть ни что иное, как категории рассудка.
Но сразу возникает вопрос, ограничен ли чистый разум? По Канту получается, что да! Но сама идея, что математика отражает не соотношения реального мира, а исходит из разума, дала толчок новым революционным преобразованиям в понятийной математике.
Первый удар классическим концепциям нанесло построение в 20-х годах XIX века гиперболической неевклидовой геометрии.
Уже позднее Риман показал возможность неограниченного разнообразия геометрических пространств, отличающихся друг от друга размерностью, формулами для вычисления расстояний. Стали изучаться пространства элементами, которых являются не точки, а прямые, окружности, сферы. А уже затем, - функции и последовательности (функциональные пространства). Изучение функциональных пространств привело к созданию функционального анализа.
Главная идея И.Канта о том, что мир ноуменов мы познать не можем, а можем только накладывать на «лепет ощущений» модели нашего разума, по сути, сделала математику наукой о чистом разуме, о возможных его структурах.
Переворот в «понятийной алгебре» происходит, по сути, с формированием теории множеств. Множества подразумевают не только совокупности чисел, но и совокупности любых объектов. Тогда операции, задаваемые на множествах, могут производиться с любыми объектами, - элементами множеств. Создается новое понимание функции как закона, который ставит в соответствие элементы множеств. Функции при изучении их свойств оказываются разными: везде определёнными, не везде определёнными, однозначными и неоднозначными. Вводя в множествах различные операции, можно получить различные алгебраические структуры. Появляется понятие рода алгебраических структур, причём общая алгебраическая теория может применяться к любой структуре этого рода, в какой бы предметной области она не встретилась. Теория групп начинает использоваться и в геометрии.
Таким образом, математика выходит за пределы изучения числовых (количественных соотношений). Возникает вопрос, а не является ли математика наукой о правилах мышления разума. Не сводится ли она к логике в широком смысле, если считать логику наукой о правилах мышления с различными (не только числовыми) структурами. Вопрос актуален и сегодня, особенно с развитием теории информации. На наш взгляд, правильнее говорить не о математике, логике, а о науках изучающих формальные структуры. Формы мы можем наполнить любым содержанием.
Опять же возникает вопрос о том, чем считать науки о языках? Ведь если абстрагироваться от содержания, то язык также можно рассматривать как различные структуры, структуры разума.
Все развитие математики привело к выводу, что она изучает различные формальные структуры, которые могут встречаться в различных предметных областях. Или структуры, при помощи которых мы можем моделировать предметные области. Развитие математики расширило её область за пределы количественных отношений и пространственных форм. Выявилась роль таких математических структур, как эквивалентность, упорядоченность, близость.
Главный вопрос всегда ли формы и отношения, изучаемые математикой, имеют прообразы в реальном мире? Очевидно, что нет! Ведь математика изучает и свойства «мыслительных объектов» (шар или спираль в бесконечномерном пространстве), а также логически чистые формы и системы отношений,
Если чистый разум не ограничен априорно, то получается, что он априорно актуально бесконечен. А это даёт повод для философских размышлений не только о природе математики как науки, но и о философских проблемах чистого разума, в аспекте его актуальной бесконечности. Ясно одно, что во всех периодах своего развития, математика изучала свойства и структуры чистого разума. А его актуальная бесконечность даёт математике недостигаемый, вечно удаляющийся горизонт истины, скрытый в актуально бесконечной полноте чистого разума. И в границах этого горизонта-логосы Божественного разума.

[Иванфилософ]

Читаю философию математики. Современные структуралисты, например, Бенацерраф говорит об отсутствие онтологичности в математических объектах из-за не единственности выражений. Так ряд натуральных чисел через множества может быть выражен по-разному. Значит, математические объекты не характеризуются индивидуальностью. Действительно, по Аристотелю, форма индивидуируется через материю. Без материи - это чистая форма. Математические объекты-это чистые формы, говорить об их сущности не разумно, мы можем заниматься только соотношениями между ними, то есть, структурами. Математика и есть наука о структурах, а математические объекты, если и существуют, то для нас ноумены, максимум, что можно сказать, что они есть, но что они....сказать не можем, а вот их структура-это доступное математическому познанию.

[Иванфилософ]

Вообще споры о реальности/нереальности математических объектов, в сути, исходят из споров об универсалиях. Есть ли числа и функции реально, как писал математик Ш. Эрмит, но думается, что разум человека шире физической реальности, и может моделировать метафизические объекты не только в математике, но и в предельной физике.

[Сергей Такой День]

У меня нет способностей к вышке, хотя имел с трудом полученную четвёрку в вузе.